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scramble cadenza

技術ネタのガラクタ置き場

-1×-1 = 1

イントロ

-1×-1 = 1を証明してください。

を見た。

  • 厳密な証明じゃない(と思う)
  • ちゃんとやろうとすると群論とか出てくるのかもしれない
  • そもそも間違ってるかもしれない

と色々言い訳しつつ、自分は以下のように理解している。

証明(?)

1

 -1 \times 0 = 0

ここがスタート。
0 に何を掛け算しても 0 になる。よって -1 をかけても答えは 0 になる。
この等式は正しそう。

2

 -1 \times (1 - 1) = 0

0 を展開して、1 - 1 とした。

3

 -1 \times (1 + (-1)) = 0

 (1 - 1) (1 + (-1)) と変換している。
学生が教わる時はこう教わるので、直感的には理解しやすい。
(厳密にはこの展開は眉唾である。ところが、この変換は引き算の定義によるものらしいので、やっぱ正しそう)

4

 -1 \times 1 + (-1) \times (-1) = 0

分配法則を使う。
分配法則は証明が楽だから、もし分配法則がわからなかったら説明する。

5

 -1 + (-1) \times (-1) = 0

3 式の左辺の一項目は  -1 \times 1 = 1 である。
1 に何を掛け算しても、掛けた数になる

6

  (-1) \times (-1) = 1

移項したら 1 になった。

まとめ

胡散臭いところもあるけれど(3 の辺りとか)、中学生ならわかる説明で、 -1 \times -1 = 1 を証明した。
分配法則、移項を習ってれば理解できる...と思ってる。

将来子供に質問されたら、こんなふうに答えるつもり。
自分も時々忘れてしまうから、ここに残しておく。

そもそも子供ができるかどうか、という命題があるが、これはは証明できないです。

参考

引き算の証明、負の数~ペアノの整数論(減算=減法): テンメイのRUN&BIKE